Équations - Corrigé

Énoncé

Résoudre les équations suivantes dans \(\mathbb{Z}\) .
1.  \(x+45 \equiv 12 \ [8]\)  
2.  \((x-1)(x+2) \equiv 0 \ [4]\)  
3.  \(2x \equiv 5 \ [7]\)  
4.  \(7x \equiv 6 \ [11]\)  
5.  \(5x-9 \equiv 4 \ [7]\)

Solution

1. On a :  \(\begin{align*}x+45 \equiv 12 \ [8]& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x \equiv 12-45 \equiv -33 \equiv -1 \ [8]\end{align*}\) donc \(S=\left\lbrace 8k-1 \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) . 

2. On fait un tableau de congruences modulo \(4\) : 
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x \equiv ... \ [4]& 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline x-1 \equiv ... \ [4]& 3 & 0 & 1 & 2\\ \hline x+2 \equiv ... \ [4]& 2 & 3 & 0 & 1\\ \hline (x-1)(x+2) \equiv ... \ [4]& 2 & 0 & 0 & 2\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  

donc les solutions de l'équation \((x-1)(x+2) \equiv 0 \ [4]\) sont données par  \(S=\left\lbrace 4k+1 \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace \cup \left\lbrace 4k+2 \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .

3. On fait un tableau de congruences modulo \(7\) : 
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x \equiv ... \ [7]& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 2x \equiv ... \ [7]& 0 & 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  

donc les solutions de l'équation \(2x \equiv 5 \ [7]\) sont données par \(S=\left\lbrace 7k+6 \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .

4. On fait un tableau de congruences modulo \(11\)  : 
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x \equiv ... \ [11]& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ \hline 7x \equiv ... \ [11]& 0 & 7 & 3 & 10 & 6 & 2 & 9 & 5 & 1 & 8 & 4\\ \hline\end{array}\end{align*}\)   

donc les solutions de l'équation \(7x \equiv 6 \ [11]\) sont données par \(S=\left\lbrace 11k+4 \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .

5. On a : 
\(\begin{align*}5x-9 \equiv 1 \ [7]& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 5x \equiv 10 \ [7]\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 5x \equiv 3 \ [7].\end{align*}\)  
On fait un tableau de congruences modulo \(7\)  : 
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x \equiv ... \ [7]& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 5x \equiv ... \ [7]& 0 & 5 & 3 & 1 & 6 & 4 & 2\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  

donc les solutions de l'équation \(5x-9 \equiv 1 \ [7]\) sont données par \(S=\left\lbrace 7k+2 \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .